Enfermedad rara mortal y falso positivo

Actualizado 06-03-2019enProbabilidad
EscritoporSergio Enguídanos SanchisDirector y coordinador de Aresformación

¿Cómo nos quedaríamos si un día cuando vamos al médico a conocer los resultados analíticos, nos dicen que la prueba frente a una rara enfermedad mortal que afecta a la población con una probabilidad del 0,1% (es decir 0,001) nos ha dado positivo?. Pues, seguramente nos provocaría un estado de ansiedad y desazón que nos dejaría sumidos en una cuasi depresión por el resto de nuestra corta (eso creemos) vida.

Introducción

Sin embargo, dado que tenemos conocimientos matemáticos podemos reponernos a la sorpresa inicial y hacer la siguiente pregunta al profesional que nos ha dado la noticia:

¿Cuál es la fiabilidad de la prueba diagnóstica?

Y se nos responde:

Esta prueba analítica tiene una fiabilidad del 99%

Es decir, que si el individuo está enfermo acierta en el diagnóstico (prueba positiva) con una probabilidad de 0.99.

¿Y si se trata de un falso positivo?

preguntamos nosotros con un candor esperanzador difícil de ocultar.

Pues, en ese caso la probabilidad de un falso positivo es del 5%, o sea 0.05.

O sea que un individuo sano da positivo a la enfermedad con una probabilidad del 5%.

Con todos estos datos, vamos a casa y desempolvamos los apuntes de bachillerato para calcular cuál es la probabilidad de habiendo dado positivo el análisis, realmente estoy enfermo. Y recordamos que el Teorema de Bayes, que hace mucho que olvidamos, planteaba respuestas a desafíos similares. Pero no nos acordamos de su aplicación y recurrimos a aplicar la regla de Laplace: dividir los casos favorables (estar enfermo dando positivo el análisis), dividido por los casos totales (dar positivo el análisis)

La probabilidad de estar enfermo es de 0.001 y la probabilidad de dar positivo el análisis estando enfermo, es de 0.99. De modo que la probabilidad es 0.0010.990.001\cdot0.99

Por otro lado la probabilidad de dar positivo sería la suma de dos términos:

  • La probabilidad de dar positivo estando enfermo (0.001·0.99)
  • La de dar positivo no estando enfermo (0.999·0.05)

De modo que, aplicando la regla tenemos:

P=(0.0010.99)((0.0010.99)+(0.0010.05))=0.01941.94%P=\dfrac{(0.001\cdot0.99)}{((0.001\cdot0.99)+(0.001\cdot0.05))}=0.0194\approx1.94\%

Inmediatamente nos cambia la cara y contemplamos el devenir con una nueva fortaleza interior.

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